Kelly-kriteriet

På den ene side er Kelly-kriteriet et grundlæggende matematisk koncept, der tilbyder velstand til dem, der forstår det. På den anden side er det næsten ikke inkluderet i nogen lærebøger i økonomi, investering eller for den sags skyld porteføljestyring. Så vidt jeg ved, er konceptet ikke en del af CFA-programmet, og jeg stødte aldrig på det under min tid på CBS. Alligevel er Kelly-kriteriet blevet adopteret af nogle af de mest succesrige koncentrerede investorer i verden, og matematikken bag det er udiskuterbart. Hvorfor er det så ikke mere støttet i akademiske kredse?

To grunde: 1) det blev opfundet af en informationsteoretiker, ikke en økonom, og af den grund forsvarer økonomer refleksivt deres territorium, og 2) der er en overdreven vægtning af volatilitetsjusterede afkast og udbredt prædiken om diversificering på handelshøjskoler. Kelly-kriteriet finder ingen plads her, fordi det ikke giver dig en måde at maksimere dine volatilitetsjusterede afkast, men i stedet giver dig en måde at maksimere vækstraten for din formue.

Det er interessant, fordi Kelly-kriteriet blev udviklet omkring samme tid som moderne porteføljeteori. Men mens Kelly-kriteriet kræver et estimat af sandsynlighedsfordelingen af ​​udfald på forhånd, måler moderne porteføljeteori risikoen ved investeringer baseret på deres tidligere varianser. Det er derfor, Markowitz’ variansoptimering får al opmærksomheden. Kelly-kriteriet er for simpelt og antage et inefficient marked.

For enhver bottom-up-investor er optimering af variansen et tåbeligt ærinde, fordi den naturlige vej for en bottom-up-tilgang er mod en koncentreret portefølje af misprissatte aktier. Ja, du kan optimere kovariansen mellem aktiver, der holdes i en koncentreret portefølje, til en vis grad, men du vil først og fremmest sikre dig, at det hårde arbejde, du lægger i at udvælge aktier, vil blive belønnet gennem en passende positionsstørrelse, så dine bedste bets giver det største afkast. Det er her, Kelly-kriteriet dominerer.

I denne artikel forklarer jeg, hvordan du korrekt skal anvende Kelly-kriteriet i forbindelse med value investering. Men inden da er der to mentale modeller, du skal kende, før du fuldt ud kan forstå, hvad Kelly-kriteriet har at tilbyde, og hvad det ikke har at tilbyde.

Så i næste afsnit introducerer jeg den mentale model for spillerens ruin og den mentale model for gearing. Du tror måske allerede, at du fuldt ud forstår, hvad gearing er, men måske lærer du noget nyt om, hvordan det påvirker formue, når det anvendes korrekt, og når det anvendes skadeligt på lang sigt og på flere bets i streg. Den normale tankegang omkring gearing er på kort sigt. Du lærer, hvordan du tager et langsigtet perspektiv.

I andet afsnit diskuterer jeg, hvordan Kelly-kriteriet fungerer. Derefter tager jeg det, vi har lært, og anvender det på value investering med fokus på koncentrerede bets. Jeg diskuterer de farer, der kan opstå ved naivt at stole på Kelly-kriteriets forslag, og foreslår en praktisk løsning.

Spillerens ruin

Professionel betting—uanset om det er gambling, investering eller handicapping—handler om at have en fordel med et positivt forventet afkast. Hvis du ikke har nogen statistisk fordel, bør du slet ikke satse. Men at have en statistisk fordel er kun én del af ligningen; den anden er det delikate spørgsmål om positionsstørrelse. Og denne anden del er mere delikat og kritisk, end du sikkert tror.

Du kan være verdens bedste spiller, men hvis du ikke kan styre dine penge, ender du enten med at gå konkurs eller ende langt under potentialet for dit hårde arbejde. Den triste kendsgerning er, at næsten enhver spiller, der har en fordel, men ignorerer positionsstørrelser, går konkurs i det lange løb.

Dette kræver en forklaring.

Lad os sige, at du har et ligeligt væddemål, hvor oddsene for at du vinder eller taber er 50%, og huset ikke tager noget. Du satser løbende et fast beløb ved hvert væddemål. I et sådant væddemål er den matematiske forventning om din formueændring lig med nul. Du har lige så stor sandsynlighed for at vinde, som du har for at tabe, og statistikkerne siger, at din formue bør bevæge sig i en vandret linje.

Når vi tænker på fremtidige forventninger, har vi en tendens til at stole på den slags statistikker. Men det er ren fantasi. I virkeligheden ville din formue ikke bevæge sig i en vandret linje. I stedet ville din formue følge en tilfældig gang, der bliver mere og mere kaotisk over tid.

Hvis vi forlængede formuegrænsen ud i det uendelige, ville den krydse din oprindelige kapital et uendeligt antal gange. Du ville også gå konkurs et uendeligt antal gange. Men dette er irrelevant, da du kun kan gå konkurs én gang, og så er du ude af spillet. Bemærk hvor tidlig konkurs opstår i denne simulering.

Hvis du spillede et spil med negativt forventet afkast, såsom på et casino, ville vejen til konkurs gå endnu hurtigere. Og selv hvis vi skulle give en lille statistisk fordel, såsom en gevinstrate på 51%, er det stadig muligt for en vedholdende spiller at gå konkurs på et tidspunkt. Dette fænomen kaldes spillerens ruin.

Når du ved dette, så overvej nu den tåbelige bettingstrategi, der hedder martingale. Det er en strategi, hvor du fordobler din indsats hver gang du taber, indtil du vinder. Effekten af ​​martingale-systemet er, at det fremskynder spillerens ruin.

Løsningen på spillernes ruin, som jeg tror, ​​du allerede har fundet ud af, er at satse procenter af din kapital i stedet for faste kronebeløb, så du satser mere, når din kapital stiger, og du satser mindre, når din kapital falder. Men selv det beskytter dig ikke mod spillernes ruin, hvis dine positionsstørrelser er for aggressive i forhold til din statistiske fordel.

Så nu bliver spørgsmålet: hvor meget af din kapital skal du satse? Findes der en optimal størrelse, der sikrer dig aldrig at blive offer for spillernes ruin, samtidig med at du maksimerer din langsigtede formue?

Gearing

Gearing har modvirkende kræfter: Det forstærker enten din gevinst eller dit tab. Næsten alle forstår det. Men ikke alle forstår, hvordan disse modvirkende kræfter kommer i spil, når de anvendes over længere perioder og gennem flere væddemål, selvom disse væddemål har positive forventede afkast.

Lad os sige, at du har et manipuleret møntkastspil, hvor mønten er designet, så den lander på plat i 51% af tilfældene og på krone i 49% af tilfældene. Udbetalingen er lige. Du er godt klar over møntens design, og du ved, at sandsynlighederne er i din favør. Du ved nu også, at du skal satse i forhold til din kapital for at undgå spillerens ruin.

Lad os først se, hvad der kan ske med din formue over tid, hvis du kontinuerligt satser 1%, 2% eller 5% af din kapital på krone 1.000 gange.

Med en væddemålsstrategi på 1% viser simuleringen, at du kunne have opnået et afkast på 47,7% på din oprindelige kapital med mild volatilitet. Du kunne også have opnået et højere afkast, omend mere volatilt, med større positionsstørrelser. Dette er den intuitive måde at tænke på gearing.

Lad os nu se på den kontraintuitive virkelighed, hvad der sker, når vi øger din indsats yderligere, f.eks. til 10%, 15% eller 30% af din kapital ved hvert bet.

Som simuleringen viser, er det nemt at tabe penge, selv med en matematisk fordel. Hvis du øger dine positionsstørrelser for meget, vil det ødelægge din kapital: med en 10%-strategi ville du kun have halvdelen af ​​din kapital tilbage, og med 15% og 30% ville din kapital i bund og grund være ødelagt.

Tænk over, hvad der foregår et øjeblik. Med en positionsstørrelse på 5% eller 2% (som vi senere vil finde ud af er det langsigtede optimale), ville din kapital stige hurtigere end en positionsstørrelse på 1%. Men med en indsatsstørrelse på 30% ville det føre til hurtig ruin. I det første tilfælde hjælper gearing, og i det andet tilfælde er det skadeligt.

Hvorfor det?

Årsagen er, at på et specifikt punkt skrumper den marginale fortjeneste, du tjener ved at tilføje mere gearing, og bliver til sidst negativ. Lad os ændre vores eksempel til et væddemål med lige stor sandsynlighed, men med ulige udbetalinger, hvilket kræver faktisk gearing i form af lånte penge.

Lad os sige, at du har en investeringsmulighed, der har 50% sandsynlighed for at blive en succes. Hvis den gør det, vil du opnå et afkast på 20% af din investering, og hvis den ikke gør det, vil du miste 10% af din investering. Udbetalingsforholdet er derfor 2:1, og grunden til, at vi nu kan låne penge for at forstærke vores afkast, er, at det at risikere 100% af vores kapital kun kan føre til et tab på 10%.

I stedet for at lave en simulering med 1.000 bets, så lad os nu kun lave to fortløbende væddemål: en sejr og et tab (rækkefølgen er ligegyldig). Derefter kan vi iterere via forskellige niveauer af gearing.

Det, vi ser, er, at så snart gearingen overstiger 2,5x, begynder afkastet fra de to bets at falde og bliver til sidst negativt ved en >5x gearing.

Grunden til dette er, at tabet på det andet bet mere end opvejer afkastet på det første, da dette tab tages fra en større pulje af kapital. Det er den samme geometriske effekt, som hvis du vinder 10% på en investering og derefter taber 10%, er du nu nede med 1% procent af din oprindelige investering.

Det er, når denne marginale geometriske effekt præcist opvejer den marginale fordel ved at tilføje mere gearing, at du har det optimale niveau af gearing. I dette tilfælde er den gearing, der maksimerer dit afkast, 2,5x.

Nu hvor du forstår de mentale modeller for spilleres ruin og gearing, er vi klar til at gå videre til Kelly-kriteriet.

Kelly-kriteriet forklaret

Den smukt simple formel for Kelly-kriteriet beregner den optimale andel af din kapital, som du skal satse for at maksimere den geometriske vækstrate af din formue. Men den lover dig ikke kun maksimal profit ved effektivt at udnytte dine muligheder. Den lover dig også sikkerhed mod spillernes ruin.

f er den andel af din kapital, som du bør satse, hvilket er en funktion af sandsynligheden for at vinde, sandsynligheden for at tabe og de odds, du har—dvs. udbetalingsforholdet.

Kelly-kriteriet har tre forudsætninger:

• Du skal kende de nøjagtige odds og sandsynligheder
• Hvis kun én af dem er til din fordel, skal den mere end opveje den anden, dvs. der skal være et positivt forventet afkast.
• Du skal skalere Kelly-outputtet, så det beløb, du satser, er lig med det potentielle tab.

Det sidste punkt er afgørende, og det er her, jeg ser mange mennesker gå galt i byen, når de bruger formlen. Mange hjemmesider, der skriver om Kelly-kriteriet, skalerer ikke outputtet korrekt, når de har at gøre med en situation, hvor man kan miste “noget”, men ikke alt. Det er forbløffende, hvor langt op ad den akademiske rangstige dette rækker. At se, hvordan så mange udøvere af Kelly-kriteriet tager fejl, bringer et citat af Ed Thorp fra hans tidlige dage på aktiemarkedet hjem, hvor han var både overrasket og opmuntret over, hvor lidt så mange vidste.

Kelly-kriteriet skal bruges på en sådan måde, at det, der satses, skal være lig med det potentielle tab. Det ligger i ordet “satsning”: Det, vi satser, er det, vi sætter på spil. I vores eksempel på gearet investering var basistabet 10%, så hvis vi skulle satse 100% af vores kapital, kunne vi kun tabe 10%. Derfor er det rigtige at gøre i dette tilfælde at skalere outputtet med 10, hvilket fører til et gearet sats.

Lad os tage vores eksempler indtil videre og indsætte dem i Kelly-formlen.

I det riggede møntkastspil havde vi en gevinstsandsynlighed på 51% med lige store udbetalinger. Hvis vi indsætter disse input i Kelly-formlen, viser det, at den optimale positionsstørrelse af vores kapital er 2%.

I vores investeringseksempel havde vi en sandsynlighed for at vinde på 50% med ulige udbetalinger på 2 ud af 1 (20% gevinst kontra 10% tab). Kelly-kriteriet foreslår derfor at satse med et maksimalt tab på 25% af kapitalen, hvilket, som vi fandt ud af, svarer til en 2,5x gearing fra basistabet på 10%.

Lad os tage et mere normalt investeringseksempel, der ikke kræver gearing i form af lånte penge. Lad os sige, at du har fundet en aktie, som du mener er mindst 100 kr. pr. aktie værd, og som i øjeblikket handles til 80 kr. pr. aktie. Du er kun 50% sikker på dit estimat af den fair værdi.

Oddsene i dette tilfælde er 1,25 (100 divideret med 80), og Kelly-kriteriet foreslår derfor en 10% positionsstørrelse.

Det ser alt sammen simpelt nok. Men hvad nu, hvis vi dykker lidt mere ned i motoren?

Tænk over, at Kelly-kriteriet lover dig maksimal profit, samtidig med at det beskytter dig mod ruin. Sådanne løfter kan lyde antitetiske. Men den grundlæggende idé bag Kelly-kriteriet er, at der er en afvejning mellem risiko og afkast, som vi kan præsentere som Kelly-kurven.

Bemærk to ting:

1) Bemærk hvor meget det øgede afkast, du får ved at tilføje ekstra risiko, bliver mindre og mindre, når du nærmer dig toppen. Faktisk er det sådan, at når din indsats nærmer sig toppen, går forholdet mellem marginal risiko og marginal profit mod uendeligheden. Til sidst skal du risikere yderligere 1 mia. kr. for at tjene én øre mere i forventet profit. Årsagen er, at Kelly-kriteriet antager, at der ikke tillægges nogen værdi til risiko, så længe den maksimerer afkastet.

2) Bemærk, at det at satse bare en lille smule mere end Kelly-kriteriet antyder, fører til reduceret profit med højere risiko (hvilket vi allerede kender fra den mentale model for gearing).

Det betyder, at målet ikke nødvendigvis er at finde den præcise top af Kelly-kurven. Målet er at holde sig inden for venstre side. Venstre side repræsenterer rationalitet, mens højre side repræsenterer irrationalitet.

Lad os se, hvad der sker, hvis vi under- eller overbetter Kelly-kriteriets forslag ved hjælp af vores eksempel på ulige udbetalinger i en simulering med 100 bets.

I overensstemmelse med eksemplet med to bets fører den Kelly-optimale positionsstørrelse naturligvis til et betydeligt højere afkast i det lange løb sammenlignet med underbetting eller overbetting. Jo længere vi strækker tidshorisonten, desto større bliver denne forskel på grund af renters rente.

Betyder det, at vi altid skal forsøge at strække os mod Kellys optimale punkt, så længe vi er på venstre side af kurven? Nej, det gør det ikke. I langt de fleste tilfælde, især inden for investering, giver det mening at være på den sikre side, og underbetting kan være den rigtige strategi i det lange løb. For at forstå hvorfor det er tilfældet, kan vi nu introducere en anden mental model: de store tals lov.

Kelly-kriteriet anvendt i value investering

Der er én ofte overset hage ved investering: livet er kort, og mulighederne opstår ikke ofte. I spil som vores eksempel med møntkast kan du enten fordoble eller tabe din indsats med få sekunders mellemrum. Ved investering tager det år at fordoble dine penge.

Problemet er, at denne form for betting går imod motoren bag Kelly-kriteriet: de store tals lov. Lige siden den blev bevist af Jakob Bernoulli i 1713, har denne lov forårsaget en del forvirring blandt spillere (og investorer).

I roulette er der en 18/38 chance for, at kuglen lander på rødt i et hvilket som helst spil. Men hvis du skulle spille roulette 38 gange i træk, ville du selvfølgelig ikke forvente, at kuglen lander på rødt præcis 18 gange. Ligeledes, hvis du skulle spille spillet 38 mio. gange, ville du på ingen måde forvente, at den lander på rødt 18 mio. gange. Uanset hvor mange gange du spiller, er der aldrig nogen sikkerhed for at opnå det forventede antal røde. Men efterhånden som antallet af spil øges, kan du forvente én ting: at procentdelen af ​​røde vil have en tendens til at komme tættere på den forventede procentdel. Dette er de store tals lov.

Investering er ikke et casinospil, og du vil ikke have mange sekventielle muligheder for at better. Derfor kan Kelly-kriteriet, hvis de store tals lov ikke opfyldes i en vis grad, indebære en større kortsigtet risiko, end du måske er villig til at tage.

Det har en anden effekt: Du kan kun vælge de muligheder, hvor du har en betydelig fordel. En vindersandsynlighed på 51% i et møntkastspil er ikke meget værd, hvis du kun kan satse én gang. Den naturlige effekt af dette er selvfølgelig en koncentreret portefølje.

Men hvor koncentreret?

Det afhænger af din evne til at estimere sandsynligheder og korrekt værdiansætte virksomheder. Aktiemarkedet er ikke et kontrolleret miljø, hvor odds er statiske og givet på forhånd. Oddsene er flydende, de ændrer sig dagligt, og det er svært at få nok fordel til faktisk at bette.

Jeg foreslår fire løsninger på disse problemer:

1. Vær konservativ i dit estimat af den fair værdi (som bestemmer dine odds) og din sikkerhed i estimatet (som bestemmer din sandsynlighed).
2. Anvend en sikkerhedsmargin på mindst 20% på Kelly-kriteriets forslag.
3. Invester kun i aktier, hvor der er mindst 70% sandsynlighed for, at du får ret i din værdiansættelse.
4. Betragt Kelly-kriteriet som et tankeeksperiment snarere end en mekanisk øvelse.

Det første punkt afbøder det faktum, at overdreven selvsikkerhed næsten altid er en faktor i værdiansættelsen af ​​virksomheder, og virkeligheden vil næsten altid vise sig mindre rentabel end forventet.

Det andet punkt giver dig en attraktiv afvejning. Hvis du kun better brøkdele af Kelly-kriteriet, begrænses dit potentielle tab med en eksponentiel faktor. For eksempel, når du anvender en sikkerhedsmargin på 50% (altså kun satser halvdelen af ​​Kelly-kriteriets forslag), ender du med 75% af den optimale profit, mens din risiko bliver halveret.

Det tredje punkt sikrer, at du holder dig inden for din kompetencecirkel, hvilket er det vigtigste punkt i hele denne diskussion.

Og endelig opfordrer det fjerde punkt dig til ikke at forsøge at beregne Kelly-kriteriets forslag for alt. At forsøge at fastsætte en præcis positionsstørrelse kan blinde dig for den dynamiske natur af investering og værdiansættelse. Når din fordel er stor nok, vil du vide, at du skal satse stort.